Carteira de Markowitz e a fronteira eficiente

A Fronteira de Markowitz ou Teoria Moderna do portfólio é uma fronteira gráfica que expressa a relação entre o Risco e o Retorno de um portfólio. Essencialmente, a fronteira de Markowitz busca otimizar a composição de um portfólio para um dado nível de risco atingir o maior retorno possível.

Para calcular a fronteira de Markowitz

Primeiramente observa-se os retornos do ativo A e do ativo B.

Calcula-se para cada um dos ativos da média aritmética dos retornos expresso por Média A e Média B.

Feito isso calcula-se o desvio padrão dos retornos de cada um dos ativos, tambem conhecido como volatilidade. Expresso em DPA e DPB.

Após o cálculo do desvio padrão, calcula- se a covariância entre os dois ativos, que é calculada da seguinte forma:

Onde,

Ai = recebe os valores de retorno de A

Ma = média de A

Bi = recebe os valores de retorno de B

Mb = Média de B

N = número de retornos computados

Interpretação da Covariância

A Covariância, caso seja maior que 0 aponta que quando o retorno de um ativo aumenta, o outro também aumentará. Caso seja menor que 0, aponta que caso o retorno de um dos ativos aumente, o outro diminuirá. A Covariância não tem escala, portanto, para nossa análise importa apenas o sinal e não sua magnitude.

O Índice de Correlação aponta a intensidade da relação entre os dois, é um índice que varia entre -1 e 1.

Onde,

xi = valores de retorno do ativo A

yi = valores de retorno do ativo B

x = média de A

y = média de B

Interpretação do índice de correlação

Índice de correlação = 1, significa que os ativos se relacionam proporcionalmente em mesma intensidade.

Índice de correlação = -1, significa que os ativos se relacionam de maneira estritamente oposta, para cada aumento em 10% no retorno de um, o outro diminuirá em 10%.

Índice de correlação = 0 significa que não existe relação entre os dois ativos.

Agora, devem ser calculados o risco e o retorno esperados do portfólio como um todo.

O retorno esperado do portfólio = %A * Média de A + % de B * Média de B

O Risco do portfólio já é mais complicado e é calculado da seguinte forma:

Onde,

X = % do ativo A

Y = % do ativo B

Var(a) = Variância de A

Var(b) = variância de B

Covar(a,b) = Covariância de (a,b)

Porém, o que nos interessa é a a volatilidade desse portfólio, que é calculado como é a raiz quadrada da variância, também conhecido como Desvio Padrão.

A Curva de Markowitz é o gráfico do retorno e volatilidade do portfólio. Basta inserir um gráfico com os dados de risco e retorno e terá a fronteira eficiente de Markowitz.

Interesse do Investidor

A Fronteira de Markowitz aponta oportunidades para composição do seu portfólio para diminuir o risco e aumentar o retorno da carteira. O Ponto mais a esquerda da curva otimiza o nível de risco da carteira, ou seja, aponta uma composição do portfólio em que o risco é menor possível.

A fronteira de Markowitz pode ser calculada no Comdinheiro neste link


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